这样的概率计算是否靠谱

前段时间,我看了小宝的《为坏人辩护》,对其简单的评价已经在豆瓣上说了,”这本书是作者的阅读随笔,大体来说是对作者所读书的概括和简评。因此,如果你读过作者读过的书,那么不妨看看,如果你没有读过,那么看这本书意义不大。”这里不再对这本书说些什么,倒是其中的一篇文章《概率的故事――站在命运一边》看后念念不忘,今天必有回响一下,为了避免误解,我以下大段引用小宝的原文:

上世纪八九十年代,玛丽莲・瓦・莎凡在美国非常出名,她是吉尼斯纪录世界最高智商纪录(228)的保持人。她的专栏《请问玛丽莲》,专门解答读者的各种问题,三百五十种报纸同时刊登,总发行量达到三千六百万份。她最有名的问答发生在1990年9月。读者的问题是:”假设某个益智节目的参赛者,可以在三扇门中选择一扇打开,其中一扇门后面是一辆汽车,另外两扇门后面各是一头山羊。主持人当然知道门后面是什么。在参赛者选了一扇门以后,主持人打开剩下两扇门中的一扇,门后面是一头羊,他对参赛者说:’你要不要改变选择,换另外那扇没打开的门?’参赛者该不该换呢?”
这个问题来自一档真实的电视益智节目。那档节目播出将近二十七年,一共四千五百集,留下记忆的就是这个以主持人名字命名的”蒙提霍尔问题”。
这个问题看起来蛮无聊的:就剩下两扇门,打开其中一扇,你赢了,打开另外一扇,你输了――答案似乎很明显,不管换不换,赢的机会都是一半一半。
问题是,玛丽莲在她的专栏中说:”选择换的胜算比较大。”
这个回答引来了一万多封读者来信,百分之九十二的读者认为玛丽莲错了。其中有一千个博士,许多数学教授。甚至连二十世纪最重要的数学家,写过一千四百七十五篇论文(数学史之最)的保罗・厄尔斯都认为玛丽莲错了。
实际上,玛丽莲是对的。这是一个在十六世纪就已经解决,重要,但并不复杂的概率问题。当参赛者面对三扇门,进行第一次选择的时候,他获胜的机会是三分之一,他失败的机会是三分之二。换句话说,他没有选的那两扇门,等于三分之二的选中机会。当主持人进行干预,排除掉一扇没有汽车的门后让参赛者做第二次选择,参赛者完整地获得了三分之二的机会。参赛者获胜的机会提高了一倍。

我的问题是,玛丽莲真的是正确的吗?

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